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授業の内容

算数の復習

分数の計算に自信のない人、やり方ばかり気にしていませんか?

分数そのものがよくわかっていないのが原因です。

今の日本の教育体制が変わらない限り致し方ないと思いますが、分数に限らず、一般的になんでもやり方偏重になっています。

当塾では分数とは何かをしっかりわかっていただける授業をします。それさえわかれば、分数の計算のやり方は自然にわかります。

文章題で困っている人、基本的には国語の問題です。用語の意味をしっかりおさえることが大切です。食塩水の濃さとは何か、速さとは何か等々。意味さえわかれば解き方はおのずと見えて来ます。

但し、つるかめ算などの場合には解法のテクニックが必要となります。もちろんご希望があれば丁寧に解説しますが、こういったものは文字式の使用で自然に解けますから、むしろ中学数学の勉強をされた方がいいと思います。

中学の復習

文字式の扱いがポイントです。ここでも「どうやるか」ではなく、「何をやっているか」に注目してください。因数分解をどうやるかではなく、因数分解とは何なのか、それに注目してください。

グラフの問題。グラフとはどういうものなのか、直線の傾きとは何か、それをしっかり考えてください。解き方はあとからついて来ます。

図形の問題。ともかく図をしっかり見ることです。ここでも「どうやるか」の前に、そこにどんな状況があるのかをよく吟味してください。

高校の復習

中学よりもずっと内容が多くなります。ますますそれは「何なのか」「何をやっているのか」を理解することが重要になります。やり方の理解ではありません、やり方は理解するものではなく、身に付けるものです。もちろんそれはそれで必要です。

でも例えば、微分の計算法が身に付いていても、それが何なのかわかっていなければ、何の応用もできませんし、そもそもそれが何かわからないのに、やり方だけ身に付けるなどということは苦痛ではありませんか?まずそれが何なのかを考えてください。

現在の高校の数学の内容は多岐にわたっています。しかしこの文部省が決めた内容を「ともかくやる」という場合は別として、「高校レベルの数学の勉強」あるいは「大学の数学を勉強するための準備」のための高校数学ということであれば、かなり内容を絞ることができます。

これに関しては、大学の授業に必要な数学の学力の足りない学生向けに、大学の先生が書かれた本が何冊かあります。例えば『理工系の基礎数学 硲野敏博著 学術図書出版社』は問題を含めてわずか88ページ(これ以外に解答と索引が付いているので、それを入れると120ページ)ですが、最低限これだけやって、あとは大学の数学に移ってもいいと思います。

もちろん受講される方のご希望で、内容はどのようにでも調整いたします。

大学の数学

ますます「何をやっているか」が重要になります。というより、それがわからないと一歩も進めなくなります。

残念なことに、現状高校までは「やり方」で通用してしまいます。これが大変問題で、同じ態度で大学の数学に臨むと、まるでわからないということになります。

しかし逆に言えば、大学の数学の方が「何をやっているか」を意識しやすいのです。

当塾では教養課程程度の線型代数、微分積分、集合と位相に対応しています。

線型代数

線型代数は大学での数学のすべての基礎であり、ある意味雛形でもあります。

その名前の通り、「線型性」がテーマです。線型性は抽象概念ですが、これは有限次元では、行列やベクトルという非常に具体的に計算できる対象で表現できますから、具体を通して抽象を見ることができるという意味でも、大学の数学の入門に最適です。

応用面でも、あらゆる分野で不可欠になっています。ぜひ勉強してください。

微分積分

微分積分の勉強では計算練習が不可欠です。但しそればかりに気がいってしまうと、それこそ何をやっているかわからなくなってしまいかねません。計算練習と同時に、理論面を押さえる必要があります。

微分積分の理論的な部分はそれを現代的に厳密にやると、あるいは難しいかもしれませんが、その概要を知るだけなら決して難しくありません。主に応用上の必要から勉強されるという場合は、あまり理論的にうるさいことをやる必要はないので、概要を知るだけでも十分です。

また理論を厳密に理解する場合も、あらかじめその概要を知っておけば、理解が容易になります。

あるいは微分積分講和のような形で、計算練習とかを特にやらずに、理論の概要つまり微分積分ではどんなことをやっているのかといったお話をすることも可能です。ご相談ください。

集合と位相

計算が出てこない数学です。そもそも数学とは計算ではありません。集合と位相を勉強すればそのことをよくわかってもらえると思います。

集合は数学の基本的な言葉です。これがないと今の数学は語れません。必要最低限の知識を習得することは難しくありません。初めは少し戸惑うかもしれませんが、要するに慣れの問題です。

少し辛抱してこれに慣れさえすれば、数学を確固たる基礎の上で論じられるようになります。曖昧さは消え去り、自信を持って議論を進めることができるようになります。

位相については説明が難しいのですが、空間というものの基本的な構造のことだといっていいでしょう。微分積分で必要な実数論とも密接な関係があります。もちろん幾何の基礎ですし、代数にとっても不可欠な概念です。

集合と位相を勉強すると抽象数学を勉強したという実感が得られると思います。

八起数学講座

数学の興味深い話題を分かりやすく解説します。なるべく少ない知識で始められる講座を目指しています。現在開講している講座については八起数学講座のご案内をご覧下さい。
なおすべて個人授業ですから受講生の方のご都合に合わせて内容を調整できます。ご相談ください。



授業の方法

個人授業

個人授業です。個人授業ですからその内容や授業の方法については受講生の方のご希望に応じます。問題演習だけをやる、逆に講義だけを聴くといった授業も可能です。ご相談下さい。

遠隔授業

当塾では通塾での受講だけでなく、遠方の方のためにスカイプを利用した インターネットによる遠隔授業 を行います。ですからインターネットに接続されたパソコンとスカイプ用のヘッドセットさえあれば、全国どこからでも受講できます。

スカイプはインターネットを利用した無料の電話サービスで、リアルタイムに双方向の会話ができます。さらにその付属の機能により、受講生ご自身のパソコン画面上に、当方のパソコン上の「板書」をリアルタイムで表示します。

スカイプは無料でダウンロードできます。⇒スカイプ
またスカイプ用のヘッドセットは、ウィンドウズマシンの場合2000円前後で十分手に入ります。 なおアップルのマシンをお使いの場合は、USBまたはブルートゥースのヘッドセットが必要ですから若干割高になります。

ご不明な点やご希望などございましたら、お気軽にお問い合わせ下さい。


八起数学講座のご案内

本講座では独自教材により、興味深い話題をなるべく分かりやすく解説することを目指しています。教材は pdf ファイルとして受講生の方に配布いたします。教材費は無料です。受講費用のみご負担ください。予備知識としては高校2年程度の数学の知識と簡単な集合の用語の知識があれば十分です。もちろんご希望の方にはこれらの知識についての解説もいたします。本講座はすべて個人授業ですから受講生の方のご希望に沿って内容を組み立てます。お気軽にご相談ください。なお集合については pdf ファイル集合の話もご覧下さい。


◆ タルスキーのパラドックス

  • ベルンシュタインの定理とタルスキーの不動点定理
  • 直交行列と三次元空間での回転
  • タルスキーのパラドックス

[概要] 球をうまく有限分割してそれを改めて組みなおすと元と同じ大きさの球が二つできる。これは直感的にはとても信じられることではありませんが、集合論の選択公理を認める限り正しい事実です。
準備としてまずベルンシュタインの定理について説明します。これは集合 X から Y への単射と Y から X への単射が存在すれば X から Y への全単射が存在することを主張する定理です。これのエレガントな証明を紹介します。
ベルンシュタインの定理はタルスキーの不動点定理からも証明できます。この部分は飛ばしてもその後の解説には影響ありません。
続いて三次元空間における軸のまわりの回転について解説します。目的は三次元空間における軸のまわりの回転を複数回合成したものは、ある一つの軸のまわりの回転であることを示すことにあります。線型代数の知識が必要ですが、この事実を認めてもらえるのであれば、この話は飛ばしてもいいでしょう。
以上の準備の下にタルスキーのパラドックスを解説します。この際ベルンシュタインの定理が効果的に使われます。なお可算集合に関しての常識的な知識が必要ですが、もちろんご希望の方にはきちんと解説いたします。


◆ アーベルの非可解性定理

  • 対称式の基本定理
  • 一意分解整域
  • アーベルの非可解性定理

[概要] 5次以上の代数方程式がベキ根によって解けないという話は有名ですからご存知の方が多いでしょう。この事実を最初に正しく証明したのはアーベルです。やや遅れてガロアがもっと一般的な問題を解決する理論を作りました。いわゆるガロア理論です。本講座ではアーベルの方法に従ってこの定理を証明します。ガロア理論、特に現代のガロア理論は抽象的ですが、アーベルの方法はかなり具体的なので分かりやすいかと思います。キーワードは対称式の基本定理です。なおここで体上の多変数の多項式環が一意分解整域であるという事実を使います。これについてはやや抽象代数的な説明をしました。これはその方が見通しが良いと考えたからです。なおこのことを認めてもらえればこの解説は飛ばしても良いと思います。


◆ π(パイ)の超越性

  • 超越数の存在について
  • πの超越性

[概要] 「超越数の存在について」と「πの超越性」は独立した内容です。
「超越数の存在について」では超越数の存在を証明します。カントルの方法とリューヴィルの方法を紹介します。前者は集合の対応を使う画期的な方法であり、後者は有理数による近似の「速さ」を使う方法で、どちらも簡明です。なお歴史的には後者のほうが先です。 「πの超越性」ではまず証明の雛形として e が無理数であることおよび2次の無理数であることを示します。次いで e が超越数であることを示し、最後にπが超越数であることを示します。この話は e^x の級数展開と e^(iπ)+1=0 および対称式の基本定理を認めてもらえばあとは高校数学の知識で理解できます。集合の知識は使いません。本講座の中では最も具体的といって良いでしょう。なお e^(iπ)+1=0 および対称式の基本定理が必要なのはπの超越性の証明のところだけで、 e の超越性の証明までならば e^x の級数展開だけで大丈夫です。